相关系数r的第二个公式

【相关系数r的第二个公式】在统计学中，相关系数（Pearson相关系数）是衡量两个变量之间线性关系强度和方向的一个重要指标。通常，我们最常接触到的相关系数公式是：

$$

r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}

$$

这个公式被称为“协方差形式”，它基于变量与均值之间的偏离程度来计算相关系数。

然而，还有一种等价但形式不同的表达方式，即“原始数据形式”的相关系数公式，也称为“第二个公式”。这种形式更便于直接使用原始数据进行计算，尤其适用于手动计算或编程实现时。

一、相关系数r的第二个公式

公式形式：

$$

r = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{\sqrt{[n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}}

$$

其中：

- $ n $ 是样本数量；

- $ x_i, y_i $ 是每对观测值；

- $ \sum x_i $ 表示所有$ x $值的总和；

- $ \sum y_i $ 表示所有$ y $值的总和；

- $ \sum x_i y_i $ 表示每对$ x_i $和$ y_i $乘积的总和；

- $ \sum x_i^2 $ 和 $ \sum y_i^2 $ 分别表示$ x $和$ y $的平方和。

二、与第一个公式的对比

三、使用示例

假设我们有以下两组数据：

计算相关系数r：

- $ n = 4 $

- $ \sum x_i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 $

- $ \sum y_i = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 $

- $ \sum x_i y_i = (1×2) + (2×4) + (3×6) + (4×8) = 2 + 8 + 18 + 32 = 60 $

- $ \sum x_i^2 = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 $

- $ \sum y_i^2 = 2² + 4² + 6² + 8² = 4 + 16 + 36 + 64 = 120 $

代入第二个公式：

$$

r = \frac{4×60 - 10×20}{\sqrt{[4×30 - 10²][4×120 - 20²]}} = \frac{240 - 200}{\sqrt{[120 - 100][480 - 400]}} = \frac{40}{\sqrt{20×80}} = \frac{40}{\sqrt{1600}} = \frac{40}{40} = 1

$$

结果为1，说明x与y之间存在完全正相关关系。

四、总结

相关系数r的第二个公式是一种更为实用的计算方法，尤其适用于需要快速计算或编写程序实现的情况。虽然其形式不同于协方差公式，但两者在数学上是等价的，只是计算路径不同。掌握这两种形式有助于更全面地理解相关系数的计算原理，并能灵活应用于实际数据分析中。

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